?!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
排序法可以说是一基本功Q解军_际问题中l常遇到Q针对实际数据的特点选择合适的排序法可以使程序获得更高的效率Q有时候排序的E_性还是实际问题中必须考虑的,q篇博客对常见的排序法q行整理Q包括:插入排序、选择排序、冒泡排序、快速排序、堆排序、归q排序、希排序、二叉树排序、计数排序、桶排序、基数排序?/p>
代码都经q了CodeBlocks的调试,但是很可能有没注意到的BUGQ欢q指出?/p>
比较排序和非比较排序
常见的排序算法都是比较排序,非比较排序包括计数排序、桶排序和基数排序,非比较排序对数据有要求,因ؓ数据本n包含了定位特征,所有才能不通过比较来确定元素的位置?/p>
比较排序的时间复杂度通常为O(n2)或者O(nlogn)Q比较排序的旉复杂度下界就是O(nlogn)Q而非比较排序的时间复杂度可以辑ֈO(n)Q但是都需要额外的I间开销?/p>
比较排序旉复杂度ؓO(nlogn)的证明:
a1,a2,a3……an序列的所有排序有n!U,所以满求的排序a1',a2',a3'……an'Q其中a1'<=a2'<=a3'…?lt;=an'Q的概率?/n!。基于输入元素的比较排序Q每一ơ比较的q回不是0是1Q这恰好可以作ؓ决策树的一个决{将一个事件分成两个分支。比如冒泡排序时通过比较a1和a2两个数的大小可以把序列分成a1,a2……an与a2,a1……anQ气泡a2上升一个n位)两种不同的结果,因此比较排序也可以构造决{树。根节点代表原始序列a1,a2,a3……anQ所有叶子节炚w是这个序列的重排Q共有n!个,其中有一个就是我们排序的l果a1',a2',a3'……an'Q。如果每ơ比较的l果都是{概率的话(恰好划分为概率空间相{的两个事gQ,那么二叉树就是高度^衡的Q深度至是log(n!)?/p>
又因?1. n! < nn ,两边取对数就得到log(n!)<nlog(n)Q所以log(n!) = O(nlogn).
2. n!=n(n-1)(n-2)(n-3)? > (n/2)^(n/2) 两边取对数得?log(n!) > (n/2)log(n/2) = Ω(nlogn)Q所?log(n!) = Ω(nlogn)?/p>
因此log(n!)的增镉K度?nlogn 相同,?log(n!)=Θ(nlogn)Q这是通用排序法的最低时间复杂度O(nlogn)的依据?/p>
排序的稳定性和复杂?/strong>
不稳定:
选择排序Qselection sortQ?O(n2)
快速排序(quicksortQ?O(nlogn) q_旉, O(n2) 最坏情? 对于大的、ؕ序串列一般认为是最快的已知排序
堆排?QheapsortQ?O(nlogn)
希尔排序 Qshell sortQ?O(nlogn)
基数排序Qradix sortQ?O(n·k); 需?O(n) 额外存储I间 QK为特征个敎ͼ
E_Q?/strong>
插入排序Qinsertion sortQ?O(n2)
冒排序Qbubble sortQ??O(n2)
归ƈ排序 Qmerge sortQ?O(n log n); 需?O(n) 额外存储I间
二叉树排序(Binary tree sortQ??O(nlogn); 需?O(n) 额外存储I间
计数排序 (counting sort) ?O(n+k); 需?O(n+k) 额外存储I间Qk为序列中Max-Min+1
桶排?Qbucket sortQ?O(n); 需?O(k) 额外存储I间
每种排序的原理和实现
插入排序
遍历数组Q遍历到iӞa0,a1...ai-1是已l排好序的,取出aiQ从ai-1开始向前和每个比较大小Q如果小于,则将此位|元素向后移动,l箋先前比较Q如果不于Q则攑ֈ正在比较的元素之后。可见相{元素比较是Q原来靠后的q是拍在后边Q所以插入排序是E_的?/p>
当待排序的数据基本有序时Q插入排序的效率比较高,只需要进行很的数据Ud?/p>
复制代码
void insertion_sort (int a[], int n) {
int i,j,v;
for (i=1; i<n; i++) {
//如果Wi个元素小于第j个,则第j个向后移?/p>
for (v=a[i], j=i-1; j>=0&&v<a[j]; j--)
a[j+1]=a[j];
a[j+1]=v;
}
}
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选择排序
遍历数组Q遍历到iӞa0,a1...ai-1是已l排好序的,然后从i到n选择出最的Q记录下位置Q如果不是第i个,则和Wi个元素交换。此时第i个元素可能会排到相等元素之后Q造成排序的不E_?/p>
复制代码
void selection_sort (int a[], int n) {
int i,j,pos,tmp;
for (i=0; i<n-1; i++) {
//L最值的下标
for (pos=i, j=i+1; j<n; j++)
if (a[pos]>a[j])
pos=j;
if (pos != i) {
tmp=a[i];
a[i]=a[pos];
a[pos]=tmp;
}
}
}
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冒排序
冒排序的名字很形象Q实际实现是盔R两节点进行比较,大的向后UM个,l过W一轮两两比较和UdQ最大的元素UdC最后,W二轮次大的位于倒数W二个,依次q行。这是最基本的冒泡排序,q可以进行一些优化?/p>
优化一Q如果某一轮两两比较中没有M元素交换Q这说明已经都排好序了,法l束Q可以用一个Flag做标讎ͼ默认为falseQ如果发生交互则|ؓtrueQ每轮结束时FlagQ如果ؓtrue则l,如果为false则返回?/p>
优化二:某一轮结束位|ؓjQ但是这一轮的最后一ơ交换发生在lastSwap的位|,则lastSwap到j之间是排好序的,下一轮的l束点就不必是j--了,而直接到lastSwap卛_Q代码如下:
复制代码
void bubble_sort (int a[], int n) {
int i, j, lastSwap, tmp;
for (j=n-1; j>0; j=lastSwap) {
for (i=0; i<j; i++) {
if (a[i] > a[i+1]) {
tmp=a[i];
a[i]=a[i+1];
a[i+1]=tmp;
//最后一ơ交换位|的坐标
lastSwap = i;
}
}
}
}
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快速排?/strong>
快速排序首先找C个基准,下面E序以第一个元素作为基准(pivotQ,然后先从叛_左搜索,如果发现比pivot,则和pivot交换Q然后从左向x索,如果发现比pivot大,则和pivot交换Q一直到左边大于双Q此时pivot左边的都比它,而右边的都比它大Q此时pivot的位|就是排好序后应该在的位|,此时pivot数l划分ؓ左右两部分,可以递归采用该方法进行。快排的交换使排序成ZE_的?/p>
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int mpartition(int a[], int l, int r) {
int pivot = a[l];
while (l<r) {
while (l<r && pivot<=a[r]) r--;
if (l<r) a[l++]=a[r];
while (l<r && pivot>=a[l]) l++;
if (l<r) a[r--]=a[l];
}
a[l]=pivot;
return l;
}
void quick_sort (int a[], int l, int r) {
if (l < r) {
int q = mpartition(a, l, r);
msort(a, l, q-1);
msort(a, q+1, r);
}
}
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堆排?/strong>
堆排序是把数l看作堆Q第i个结点的孩子l点为第2*i+1?*i+2个结点(不超出数l长度前提下Q,堆排序的W一步是建堆Q然后是取堆元素然后调整堆。徏堆的q程是自底向上不断调整达成的Q这样当调整某个l点Ӟ其左节点和右l点已经是满x件的Q此时如果两个子l点不需要动Q则整个子树不需要动Q如果调_则父l点交换到子l点位置Q再以此l点l箋调整?/p>
下述代码使用的大堆Q徏立好堆后堆顶元素为最大|此时取堆元素即使堆元素和最后一个元素交换,最大的元素处于数组最后,此时调整了一个长度的堆,然后再取堆顶和倒数W二个元素交换,依次cLQ完成数据的非递减排序?/p>
堆排序的主要旉花在初始建堆期间Q徏好堆后,堆这U数据结构以及它奇妙的特征,使得扑ֈ数列中最大的数字q样的操作只需要O(1)的时间复杂度Q维护需要logn的时间复杂度。堆排序不适宜于记录数较少的文?/p>
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void heapAdjust(int a[], int i, int nLength)
{
int nChild;
int nTemp;
for (nTemp = a[i]; 2 * i + 1 < nLength; i = nChild)
{
// 子结点的位置=2*Q父l点位置Q? 1
nChild = 2 * i + 1;
// 得到子结点中较大的结?/p>
if ( nChild < nLength-1 && a[nChild + 1] > a[nChild])
++nChild;
// 如果较大的子l点大于父结炚w么把较大的子l点往上移动,替换它的父结?/p>
if (nTemp < a[nChild])
{
a[i] = a[nChild];
a[nChild]= nTemp;
}
else
// 否则退出@?/p>
break;
}
}
// 堆排序算?/p>
void heap_sort(int a[],int length)
{
int tmp;
// 调整序列的前半部分元素,调整完之后第一个元素是序列的最大的元素
//length/2-1是第一个非叶节点,此处"/"为整?/p>
for (int i = length / 2 - 1; i >= 0; --i)
heapAdjust(a, i, length);
// 从最后一个元素开始对序列q行调整Q不断的~小调整的范围直到第一个元?/p>
for (int i = length - 1; i > 0; --i)
{
// 把第一个元素和当前的最后一个元素交换,
// 保证当前的最后一个位|的元素都是在现在的q个序列之中最大的
/// Swap(&a[0], &a[i]);
tmp = a[i];
a[i] = a[0];
a[0] = tmp;
// 不断~小调整heap的范_每一ơ调整完毕保证第一个元素是当前序列的最大?/p>
heapAdjust(a, 0, i);
}
}
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归ƈ排序
归ƈ排序是采用分LQDivide and ConquerQ的一个非常典型的应用。首先考虑下如何将二个有序数列合q。这个非常简单,只要从比较二个数列的W一个数Q谁就先取谁,取了后就在对应数列中删除q个数。然后再q行比较Q如果有数列为空Q那直接另一个数列的数据依次取出卛_。这需要将待排序序列中的所有记录扫描一遍,因此耗费O(n)旉Q而由完全二叉树的深度可知Q整个归q排序需要进?logn.ơ,因此Qȝ旉复杂度ؓO(nlogn)?/p>
归ƈ排序在归q过E中需 要与原始记录序列同样数量的存储空间存攑ֽq结果,因此I间复杂度ؓO(n)?/p>
归ƈ法需要两两比较,不存在蟩跃,因此归ƈ排序是一U稳定的排序法?nbsp;
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void mergearray(int a[], int first, int mid, int last, int temp[])
{
int i = first, j = mid + 1;
int m = mid, n = last;
int k = 0;
while (i <= m && j <= n)
{
if (a[i] <= a[j])
temp[k++] = a[i++];
else
temp[k++] = a[j++];
}
while (i <= m)
temp[k++] = a[i++];
while (j <= n)
temp[k++] = a[j++];
for (i = 0; i < k; i++)
a[first + i] = temp[i];
}
void merge_sort(int a[], int first, int last, int temp[])
{
if (first < last)
{
int mid = (first + last) / 2;
merge_sort(a, first, mid, temp); //左边有序
merge_sort(a, mid + 1, last, temp); //双有序
mergearray(a, first, mid, last, temp); //再将二个有序数列合ƈ
}
}
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有的地方看到在mergearray()合ƈ有序数列时分配时数l,x一步mergearray的结果存攄一个新的时数l里Q这样会在递归中消耗大量的I间。因此做出小的变化。只需要new一个时数l。后面的操作都共用这一个时数l。合q完后将临时数组中排好序的部分写回原数组?/p>
归ƈ排序计算旉复杂度时可以很容易的列出递归方程Q也是计时间复杂度的一U方法?/p>
希尔排序
希尔排序是对插入排序的优化,Z以下两个认识Q?. 数据量较时插入排序速度较快Q因为n和n2差距很小Q?. 数据基本有序时插入排序效率很高,因ؓ比较和移动的数据量少?/p>
因此Q希排序的基本思想是将需要排序的序列划分成ؓ若干个较的子序列,对子序列q行插入排序Q通过则插入排序能够得原来序列成为基本有序。这样通过对较的序列q行插入排序Q然后对基本有序的数列进行插入排序,能够提高插入排序法的效率?/p>
希尔排序的划分子序列不是像归q排序那U的二分Q而是采用的叫做增量的技术,例如有十个元素的数组q行希尔排序Q首先选择增量?0/2=5Q此时第1个元素和W(1+5Q个元素配对成子序列使用插入排序q行排序Q第2和(2+5Q个元素l成子序列,完成后增量l减半ؓ2Q此时第1个元素、第Q?+2Q、第Q?+4Q、第Q?+6Q、第Q?+8Q个元素l成子序列进行插入排序。这U增量选择Ҏ的好处是可以使数l整体均匀有序Q尽可能的减比较和Ud的次敎ͼ二分法中即前一半数据有序,后一半中如果有比较小的数据,q是会造成大量的比较和UdQ因此这U增量的Ҏ和插入排序的配合更佳?/p>
希尔排序的时间复杂度和增量的选择{略有关Q上q增量方法造成希尔排序的不E_性?/p>
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void shell_sort(int a[], int n)
{
int d, i, j, temp; //d为增?/p>
for(d = n/2;d >= 1;d = d/2) //增量递减?使完成排?/p>
{
for(i = d; i < n;i++) //插入排序的一?/p>
{
temp = a[i];
for(j = i - d;(j >= 0) && (a[j] > temp);j = j-d)
{
a[j + d] = a[j];
}
a[j + d] = temp;
}
}
}
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二叉树排?/strong>
二叉树排序法借助了数据结构二叉排序树Q二叉排序数满三个条gQ(1Q若左子树不I,则左子树上所有结点的值均于它的根结点的| Q?Q若叛_树不I,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的| Q?Q左、右子树也分别ؓ二叉排序树。根据这三个特点Q用中序遍历二叉树得到的l果是排序的结果?/p>
二叉树排序法需要首先根据数据构Z叉排序树Q然后中序遍历,排序旉复杂度ؓO(nlogn)Q构Z叉树需要额外的O(n)的存储空_有相同的元素是可以设|排在后边的攑֜叛_树,在中序变量的时候也会在后边Q所以二叉树排序是稳定的?/p>
在实现此法的时候遇C的困难Q指针参数在函数中无法通过new赋|后来采用取指针地址Q然后函数设|BST** tree的方式解冟?/p>
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int arr[] = {7, 8, 8, 9, 5, 16, 5, 3,56,21,34,15,42};
struct BST{
int number; //保存数组元素的?/p>
struct BST* left;
struct BST* right;
};
void insertBST(BST** tree, int v) {
if (*tree == NULL) {
*tree = new BST;
(*tree)->left=(*tree)->right=NULL;
(*tree)->number=v;
return;
}
if (v < (*tree)->number)
insertBST(&((*tree)->left), v);
else
insertBST(&((*tree)->right), v);
}
void printResult(BST* tree) {
if (tree == NULL)
return;
if (tree->left != NULL)
printResult(tree->left);
cout << tree->number << " ";
if (tree->right != NULL)
printResult(tree->right);
}
void createBST(BST** tree, int a[], int n) {
*tree = NULL;
for (int i=0; i<n; i++)
insertBST(tree, a[i]);
}
int main()
{
int n = sizeof(arr)/sizeof(int);
BST* root;
createBST(&root, arr, n);
printResult(root);
}
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计数排序
如果通过比较q行排序Q那么复杂度的下界是O(nlogn)Q但是如果数据本w有可以利用的特征,可以不通过比较q行排序Q就能旉复杂度降低到O(n)?/p>
计数排序要求待排序的数组元素都是 整数Q有很多地方都要L0-K的正整数Q其实负整数也可以通过都加一个偏U量解决的?/p>
计数排序的思想是,考虑待排序数l中的某一个元素aQ如果数l中比a的元素有s个,那么a在最l排好序的数l中的位|将会是s+1Q如何知道比a的元素有多个Q肯定不是通过比较去觉得,而是通过数字本n的属性,即篏加数l中最值到a之间的每个数字出现的ơ数Q未出现则ؓ0Q,而每个数字出现的ơ数可以通过扫描一遍数l获得?/p>
计数排序的步骤:
扑և待排序的数组中最大和最的元素Q计数数lC的长度ؓmax-min+1Q其中位|?存放minQ依ơ填充到最后一个位|存放maxQ?/p>
l计数组中每个gؓi的元素出现的ơ数Q存入数lC的第i?/p>
Ҏ有的计数累加Q从C中的W一个元素开始,每一和前一相加)
反向填充目标数组Q将每个元素i攑֜新数l的WC(i),每放一个元素就C(i)减去1Q反向填充是Z保证E_性)
以下代码中寻找最大和最元素参考编E之,比较ơ数?.5nơ?/p>
计数排序适合数据分布集中的排序,如果数据太分散,会造成I间的大量浪费,假设数据为(1,2,3,1000000Q,q就需?000000的额外空_q且有大量的I间费和时间浪贏V?/p>
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void findArrMaxMin(int a[], int size, int *min, int *max)
{
if(size == 0) {
return;
}
if(size == 1) {
*min = *max = a[0];
return;
}
*min = a[0] > a[1] ? a[1] : a[0];
*max = a[0] <= a[1] ? a[1] : a[0];
int i, j;
for(i = 2, j = 3; i < size, j < size; i += 2, j += 2) {
int tempmax = a[i] >= a[j] ? a[i] : a[j];
int tempmin = a[i] < a[j] ? a[i] : a[j];
if(tempmax > *max)
*max = tempmax;
if(tempmin < *min)
*min = tempmin;
}
//如果数组元素是奇CQ那么最后一个元素在分组的过E中没有包含其中Q?/p>
//q里单独比较
if(size % 2 != 0) {
if(a[size -1] > *max)
*max = a[size - 1];
else if(a[size -1] < *min)
*min = a[size -1];
}
}
void count_sort(int a[], int b[], int n) {
int max, min;
findArrMaxMin(a, n, &min, &max);
int numRange = max-min+1;
int* counter = new int[numRange];
int i, j, k;
for (k=0; k<numRange; k++)
counter[k]=0;
for (i=0; i<n; i++)
counter[a[i]-min]++;
for (k=1; k<numRange; k++)
counter[k] += counter[k-1];
for (j=n-1; j>=0; j--) {
int v = a[j];
int index = counter[v-min]-1;
b[index]=v;
counter[v-min]--;
}
}
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桶排?/strong>
假设有一l长度ؓN的待排关键字序列K[1....n]。首先将q个序列划分成M个的子区?? 。然后基于某U映函?Q将待排序列的关键字k映射到第i个桶?x数组B的下?i) Q那么该关键字k׃为B[i]中的元素(每个桶B[i]都是一l大ؓN/M的序?。接着Ҏ个桶B[i]中的所有元素进行比较排?可以使用快排)。然后依ơ枚举输出B[0]....B[M]中的全部内容x一个有序序列?/p>
桶排序利用函数的映射关系Q减了计划所有的比较操作Q是一UHash的思想Q可以用在v量数据处理中?/p>
我觉得计数排序也可以看作是桶排序的特例,数组关键字范围ؓNQ划分ؓN个桶?/p>
基数排序
基数排序也可以看作一U桶排序Q不断的使用不同的标准对数据划分到桶中,最l实现有序。基数排序的思想是对数据选择多种基数Q对每一U基Cơ用桶排序?/p>
基数排序的步骤:以整Cؓ例,整数按十进制位划分Q从低位到高位执行以下过E?/p>
1. 从个位开始,Ҏ0~9的值将数据分到10个桶Ӟ例如12会划分到2h中?/p>
2. ?~9?0个桶中的数据序攑֛到数l中?/p>
重复上述q程Q一直到最高位?/p>
上述ҎUCؓLSDQLeast significant digitalQ,q可以从高位C位,UCؓMSD?/p>
复制代码
int getNumInPos(int num,int pos) //获得某个数字的第pos位的?/p>
{
int temp = 1;
for (int i = 0; i < pos - 1; i++)
temp *= 10;
return (num / temp) % 10;
}
#define RADIX_10 10 //十个Ӟ表示每一位的十个数字
#define KEYNUM 5 //整数位数
void radix_sort(int* pDataArray, int iDataNum)
{
int *radixArrays[RADIX_10]; //分别?~9的序列空?/p>
for (int i = 0; i < RADIX_10; i++)
{
radixArrays[i] = new int[iDataNum];
radixArrays[i][0] = 0; //index?处记录这l数据的个数
}
for (int pos = 1; pos <= KEYNUM; pos++) //从个位开始到31?/p>
{
for (int i = 0; i < iDataNum; i++) //分配q程
{
int num = getNumInPos(pDataArray[i], pos);
int index = ++radixArrays[num][0];
radixArrays[num][index] = pDataArray[i];
}
for (int i = 0, j =0; i < RADIX_10; i++) //写回到原数组中,复位radixArrays
{
for (int k = 1; k <= radixArrays[i][0]; k++)
pDataArray[j++] = radixArrays[i][k];
radixArrays[i][0] = 0;
}
}
}